அதிசய அற்புத பாடல்கள்

ஆங்கிலத்தில் palindrome என்றும், தமிழில் இருவழி ஒக்கும் சொல் என்றும் குறிப்பிடக் கூடியவைகளைக் காண்போம்.

MALAYALAM - இது ஆங்கிலத்தில் இடது புறத்திலிருந்து வலப்புறமாக படித்தாலும், வலது புறத்திலிருந்து இடது புறமாக படித்தாலும் ஒரே மாதிரியாக, அதே சொல்லாக அமையக்கூடியது. palindrome என்பது இவ்வகை.தமிழில் - விகடகவி - இடதிலிருந்து வலமாக, வலமிருந்து இடமாக படித்தாலும் ஒரே சொல் அமையக் கூடியது.

ஆங்கிலத்தில் பாலிண்டிரோம்கள் அதிகம்.

I PREFER PI

MADAM I'M ADAM

NEVER ODD OR EVEN என்பவை சில பிரபலமான பாலிண்டிரோம்கள்.

இவை போல ஆயிரக்கணக்கான எழுத்துக்களைக் கொண்ட பாலிண்டிரோம்கள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன.

தமிழில் பாலிண்டிரோம்கள் மிகக் குறைவே. ஒற்றெழுத்துக்கள் எனக் கூடிய புள்ளி வைத்த எழுத்துக்கள் தமிழில் பாலிண்டிரோம்கள் எழுதச் சற்றே தடையாக உள்ளன.

ஆயினும், பல பாலிண்டிரோம்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன.

குறைவான எழுத்துக்கள் கொண்டவை :

தாத்தா

பாப்பா

தேரு வருதே

மோரு போருமோ

"பூவாளை நாறு நீ பூமேக லோகமே பூ நீறு நாளை வா பூ"- தண்டியலங்காரக் குறள் வெண்பா .

தமிழ் நால்வரில் ஒருவரும், தமிழின் மீது ஆழ்ந்த பற்று கொண்டவரும், தெய்வங்களுக்குத் தனித் தமிழில் பெயர் அமைத்தவரும், தம் பாடல்களால் சைவ சமயத்தைப் பெரிதும் வளர்த்தவரும், உமை அம்பிகையால் ஞானப் பால் குடித்தவரும், திராவிட சிசு என்று போற்றப்படக் கூடியவரும் ஆகிய திருஞானசம்பந்தர் தமிழின் மிக நீளமான பாலிண்டிரோமை அக்காலத்திலேயே அழகுற அமைத்திருக்கின்றார்.

சைவத்தின் வேதம் என்று போற்றக் கூடிய பன்னிரு திருமுறைகளின் முதல் மூன்று திருமுறைகளாக திருஞானசம்பந்தரின் பாடல்கள் தொகுக்கப்பட்டிருக்கின்றன.திருஞானசம்பந்தர் பாடல்களில் மாலை மாற்றுப் பதிகம் என்பது முழுக்க முழுக்க தமிழ் பாலிண்டிரோம்தான்.

திருஞான சம்பந்தர் இயற்றிய மாலை மாற்று (PALINDROME) பதிகம்

திருச்சிற்றம்பலம்

யாமாமாநீ யாமாமா யாழீகாமா காணாகா காணாகாமா காழீயா மாமாயாநீ மாமாயா 1

யாகாயாழீ காயாகா தாயாராரா தாயாயாயாயாதாரா ராயாதா காயாகாழீ யாகாயா 2

தாவாமூவா தாசாகா ழீநாதாநீ யாமாமாமாமாயாநீ தாநாழீ காசாதாவா மூவாதா 3

நீவாவாயா காயாழீ காவாவானோ வாராமேமேராவானோ வாவாகா ழீயாகாயா வாவாநீ 4

யாகாலாமே யாகாழீ யாமேதாவீ தாயாவீவீயாதாவீ தாமேயா ழீகாயாமே லாகாயா 5

மேலேபோகா மேதேழீ காலாலேகா லானாயேயேனாலாகா லேலாகா ழீதேமேகா பொலேமே 6

நீயாமாநீ யேயாமா தாவேழீகா நீதானேநேதாநீகா ழீவேதா மாயாயேநீ மாயாநீ 7

நேணவரா விழயாசைழியே வேகதளேரிய ளாயுழிகாகாழியுளாய ரிளேதகவே யேழிசையாழவி ராவணனே 8

காலேமேலே காணீகா ழீகாலேமா லேமேபூபூமேலேமா லேகாழீ காணீகாலே மேலேகா 9

வேரியுமேணவ காழியொயே யேனைநிணேமட ளோகரதேதேரகளோடம ணேநினையே யேயொழிகாவண மேயுரிவே 10

நேரகழாமித யாசழிதா யேனனியேனனி ளாயுழிகா காழியுளானின யேனினயே தாழிசயா தமிழாகரனே 11

திருச்சிற்றம்பலம்

(மேற்கண்ட பாடல்களில் ஒற்றெழுத்து எனும் புள்ளி வைத்த எழுத்துக்கள் வரவில்லை என்பதை இங்கே குறிப்பிடவேண்டும். மேற்கண்ட பாடல்களுக்கு மிக அழகிய பொருள் உண்டு. முதல் பாடலின் பொருள் : சிற்றுயிர்களாகிய நாங்கள் கடவுள் அல்லர், சிவபெருமானாகிய நீ மட்டுமே எங்களுக்கு கடவுள்)

இதே போல பாலிண்டிரோம்கள் தமிழில் இன்னும் சில உண்டு. ஆனால் திருஞான சம்பந்தர் இயற்றியது போல அமையவில்லை.

மாதவச் சிவஞான யோகிகள் என்பவர் காஞ்சிப் புராணத்திலும், தமிழ்த் தாத்தா உ.வே. சாமிநாத அய்யரின் குருவாகிய, திரிசிரபுரம் மகாவித்வான் மீனாட்சி சுந்தரம் பிள்ளை தாம் இயற்றிய, திருநாகைக்காரோணப் புராணத்தில் பாலிண்டிரோம் வகைக் கவிதைகளை இயற்றியுள்ளனர் என்று தமிழறிஞர்கள் கூறுகின்றனர்.

மிக அதிசய அற்புத பாடல்

பாலிண்டிரோம் என்பது இரு வழிகளிலும் படித்தாலும் ஒரே அர்த்தத்தை மட்டுமே கொடுக்கக் கூடியது.

மிக அற்புதமாக, ஒரு பாடலை இடமிருந்து வலமாகப் படித்தால் ஒரு அர்த்தத்தையும், அதே பாடலை வலமிருந்து இடமாகப் படித்தால் வேறொரு அர்த்தமும் கொண்ட பாடல் ஒன்று உண்டு. இது பாலிண்டிரோம் வகைதான். ஆனால் இரு வேறு அர்த்தங்கள் உண்டு.

வடமொழியில் அமைந்த அந்த அற்புதப் பாடலைக் காண்போம்.

'ராகவ யாதவீயம்' எனும் பெயர் கொண்ட அந்தக் காவியம் முதல் எழுத்தில் ஆரம்பித்து, கடைசி எழுத்து வரை நேராகப் படித்தால் ராகவன் எனும் ராம பிரானின் கதையைக் கூறும் ராமாயணமாகவும்,கடைசி எழுத்தில் தொடங்கி, முதல் எழுத்து வரை, திருப்பிப் படித்தால் கண்ண பிரானின் கதையைக் கூறும் பாகவதமாகவும் பொருள் தரக் கூடிய வகையில் அற்புத, அதிசயமான காவியமாக இயற்றப்பட்டுள்ளது.

ராகவ யாதவீயம்

====> (READ LEFT TO RIGHT)

ஓம் வந்தேஹம் தேவம் தம் ஸ்ரீ தம் ரந்தாரம் காலம் பாஸா ய: I ராமோ ராமாதீராப்யாகோ லீலாமாராயோத்யே வாஸே II

<==== (THE ABOVE SAME IS IN RIGHT TO LEFT) :

ஸேவாத்யேயோ ராமாலாலீ கோப்யாராதீ மாராமோரா: I யஸ்யாபாலங்காரம் தாரம் தம் ஸ்ரீதம் வந்தேஹம் தேவம் II

ராகவ யாதவீயம் எனும் இந்த உன்னத மகா காவியம், கர்நாடக மாநிலத்தில், கி.பி.18ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த, வேங்கடாத்வரி எனும் மகாகவி இயற்றியது. மேற்கண்டது முதல் பாடல் மட்டுமே. இது போல் முப்பது பாடல்கள் எழுதியிருக்கின்றார்.

தமிழில் சில சிறப்பு வகை கவிதை அமைப்புகள் :

தமிழில் முரசு பந்தனம், வேல் பந்தனம், நாக பந்தனம், தேர் பந்தனம் போன்றவை உண்டு. உதாரணமாக, முரசு பந்தனம் என்பது, நான்கடிகள் கொண்ட ஒரு பாடலை எழுதி, அப்பாடலைப் படத்திற் காட்டடியபடி முரசு வார்களின் மேல் எழுதவேண்டும்.

அதேசமயம் நான்கு அடிகளையும் முதலடி தொட்டுக் கடையடி ஈறாய், மேலிருந்து கீழ் இழிந்தும், கீழிருந்து மேல் நோக்கியும், தத்தம் வார்கள் போக்கிய வழியிற் சென்று படித்தாலும் பாடலடிகள் கிடைக்கப்பெறும்.

பாடல்

நாதமு தீநய மேதரு முரசே !

காதமுதீநய மேதரு முரசே !

போதமு தீநய மேதரு முரசே !

நாதமு தீநய மேதரு முரசே !

நாக பந்தனம்

முரசு பந்தனம் போல் நாக பந்தனம் என்பதும் மிகச் சிறப்பு வாய்ந்தது. இந்தச் சித்திர கவியில் நான்கு பாம்புகள் இணைந்து பின்னிக் கொண்டு அமைந்திருக்கும். நான்கு பாம்புகளுக்கு¡¢ய நான்கு சிந்தியல் வெண்பாக்கள் கற்பிப்பு முறையில், ஒரு பாம்புக்கு ஒரு பாடல் என்றவாறு அப்பாம்புகளின் உடல் வழியில் தொடர்ந்து எழுதப்பட்டுள்ளன.

பாடல் 1.தன்னை யறிதல் தலைப்படுத்துங் கல்வியதாலெங்ங னறித லுலகியலை - முன்னுவந்துன்னை யறிக முதல்.

பாடல் 2.நீக்கு வினைநீக்கி நேர்மைவினைக் கின்னலையாதீங்குநீ நன்மனத்தால் நன்னயங்க ளுன்ன வுடன்பெறு வாயுய் தலை.

பாடல் 3. ஓங்குபனை போலுயர்ந் தென்னே பயனுன்னத்தீங்கு தனைமனத்து ளெண்ணித்தீ நீக்காதார்தீங்கினைத் தீப்படுந் தீ !

பாடல் 4.உன்னை யறிதற் குனதூழ் தரப்பெற்றபொன்னைப்பெண் மண்ணாசை போக்கலைக் காணாயேலென்னை பயக்குமோ சொல் !

வேல் பந்தனம்

மேற்கண்ட கவிதை வடிவம் முருகப்பெருமானுக்குரிய வேல் பந்தனம் எனும் வகையாகும்.

இதில் கண்ட எழுத்துக்களை கீழ்க்கண்டவாறு படிக்க வேண்டும்.

“வால வேல விகாரவா, வார காமனை நாடி வா, வாடி நாடிடுமோ சிவா, வாசி மோகன வேலவா’’

இந்த வேல் பந்தன மந்திரத்தைஜபித்தால் எதிர்ப்புகள் நீங்கி, முருகனின் அருள் விரைவில் கிட்டும்.

சிதம்பரத்தில், சிவகங்கை குளக்கரை மண்டபத்தில், முருகனின் வேல் பந்தனம் எனும் தமிழ் மந்திர எழுத்துக்கள் கொண்ட மந்திர அமைப்பு வரையப் பட்டுள்ளது. எதிரிகளின் இடத்திற்கு செல்லும்போது, காப்பு எனும் கவசம் அணிந்து செல்வது போர் முறை. அதேபோல் மந்திர காப்பு கவசமாக இந்த வேல் பந்தனம் நம்மைக் காத்து, வெற்றியளிக்கும் என்பது ஐதீகம்.

இதே போல் ரத பந்தம் என்பது மிகச் சிறப்பு வாய்ந்தது.

தேர் போல கட்டங்கள் வரைந்து அதில் எழுத்துக்களை பதித்து அழகிய பாடலாக அமைப்பது.

நன்றி - நி.த. நடராஜ தீக்ஷிதர்

natarajadeekshidhar.blogspot.com

Edited September 13, 201114 yr by உடையார்

தமிழ் இலக்கியத்தில் சிலேடைகள், சொற்சிலம்பங்கள்,விடுகதைகள் எனப் பல விளையாட்டுக்கள் உண்டு.இங்கு சில விளையாட்டுக்கள் உள்ளன. விடைகளைக் கண்டு பிடிக்க முடிகிறதா என்று பாருங்கள்.

விளையாட்டு ஒன்று;

இப்பாடல் அழகிய சொக்கநாதபிள்ளை பாடியது.

"முற்பாதி போய்விட்டால், இருட்டே ஆகும்;

முன் எழுத்து இல் லாவிட்டால், பெண்ணே யாகும்;

பிற்பாதி போய்விட்டால், ஏவற் சொல்லலாம்;

பிற்பாதி யுடன் முன் எழுத்து இருந்தால், மேகம்;

சொற்பாகக் கடைதலைசின் மிருகத்தீனி;

தொடர் இரண்டாம் எழுத்து,மா தத்தில் ஒன்றாம்;

பொற்பார்திண் புயமுத்து சாமி மன்னா!

புகலுவாய் இக்கதையின் புதையல் கண்டே!

என்ன சொல்லென்று கண்டுபிடிக்க முடிகிறதா?

விளையாட்டு இரண்டு,

இப்பாடலைப் பாடியவர் இராமசாமிக் கவிராயர்.

முன்னொரு ஊரின் பேராம்;முன்னெழுத்து இல்லாவிட்டால்

நன்னகர் மன்னர் பேராம்;நடுஎழுத்து இல்லாவிட்டால்

கன்னமா மிருகத்தின் பேர்;கடைஎழுத் தில்லாவிட்டால்

உன்னிய தேனின் பேராம்;ஊரின் பேர் விளம்புவீரே!

கண்டுபிடியுங்கள் பார்க்கலாம்.

விளையாட்டு மூன்று;

இப்பாடலைப் பாடியவர் கொட்டாம்பட்டிக் கருப்பையா பாவலர்.

'தேங்குழலப் பம்தோசை யித்தியமா உடலில்

திகழ்வடையப் பழம்பணியா ரங்கள்எலா நீத்தே

ஓங்கியழு தலட்டுப்பல காரமுழ அனைமார்க்கு

ஒடுங்கிப்பா யசநிகர்த்த உற்றார்க்கு மஞ்சி

வீங்கிபக்கோ டாமுலையில் பூந்தினவு கொண்டுன்

விரகத்தில் அதிரசமுற் றன்பிட்டு வந்தாள்

தாங்குதனின் கடன் செந்தில் வேலரசே அவணின்

றன்பாலா அடைதலெழில் தருமுறுக்குத் தானே!'

இதில் 12 பலகார வகைகள் சொல்லப் பட்டிருக்கின்றன.அதனூடாக இன்னொரு கருத்தும் பொதிந்திருக்கிறது.முடிந்தால் இரண்டு பொருள்களையும் பின்னூட்டத்தில் தாருங்கள்.

போவதற்கு முன் ஒரு பாடல்,

வெள்ளரிக் காயா? விரும்பும்அவ ரைக்காயா?

உள்ளமிள காயா? ஒருபேச் சுரைக்காயா?

நயம்;

ஒரு பெண்ணைப் பார்த்து நீ உள்ளமிளக மாட்டாயா? ஒரு பேச்சுரைக்க மாட்டாயா? என்பதைப் புலவர் பா நயம் தோன்ற வெள்ளரிக்காய்,அவரைக்காய், மிளகாய்,பேச்சுரைக்காய் முதலிய பெயர்களைக் கொண்டு இப் பாடலைப் பாடியுள்ளார்.பாடிய புலவர்,அழகிய சொக்கநாதபிள்ளை.

நன்றி - akshayapaathram.blogspot.com

”ஒரு குளத்தில் இருந்த தாமரை மலர்களில் ஒரு மலருக்கு ஒரு புறா உட்கார்ந்தால் 5 புறாக்களுக்கு இடமில்லை. ஒரு பூவில் இரண்டிரண்டு புறாக்களாய் அமர்ந்தால் 5 பூக்கள் மிஞ்சும் . மொத்தம் எத்தனை புறாக்களும் பூக்களும் குளத்தில் இருந்தன? “ என்ற கணக்கை என் இளமைப் பருவத்திற் கேட்டிருக்கிறேன். அதுபோல பல கணக்குகளை நம்மூர்க் காரிநாயனாரின் “கணக்கதிகாரம்” சொல்லும். கூட்டுத்தொகைக் கணக்குகள், பின்னப்பங்குக் கணக்குகள், பங்கிடுதற் கணக்குகள், சரிக்குச்சரி கணக்குகள், பூக்கள் கணக்குகள், சந்தைக் கணக்குகள், பிரித்துக் கொடுத்தற் கணக்குகள், சக்கரக் கணக்குகள், கூட்டுவிலை காணற் கணக்குகள், தனித்த கணக்குகள், தொகைக் கணக்குகள், கணக்குப் பாடல்கள் என்று பன்னிருவகைக் கணக்குகளை அது பாடவடிவிற் சொல்லும். மாதிரிக்கு ஒரு நீளக் கணக்கை மட்டும் இங்கு சொல்லுகிறேன்.

தென்னவன் அனைய கோமான் தேவிமார் மூன்று பெண்கள்

பொன்னகர் காவில் ஏகிப் பூவது பறிக்கச் சென்றார்

அன்னவர் தனித்த னிய்யாய் அதிகமும் மூன்று பூவாய்த்

தன்னிலே பறித்து மீண்டும் சரிவரப் பங்கு வைத்தார்

வைத்ததோர் ஒருத்தி பங்கில் மாதேவர் தமக்குப் பாதி

சிற்றிடை வள்ளி பங்கர் செந்திலார்க்கு ஐந்தில் ஒன்று

நற்றமிழ்க் கணப திக்கு நாலிலே யொன்று போக

மற்றதோர் பூவுங் கொண்டு மனையது தன்னில் வந்தாள்

வந்தபின் தந்தை யர்க்கு வாகுடன் பாதி யீந்தாள்

சுந்தர வடிவின் நல்லாள் தோழியர்க்கு ஐந்தில் ஒன்று

விந்தைசேர் கணவ னுக்கு விரும்பியே பத்தில் ஒன்று

தந்திர மாக ஈய்ந்து தான்சில பூவை வைத்தாள்

வைத்ததோர் பூவு தன்னில் வளம்பெற நாலைம் பூவை

உத்தம தானம் ஈய்ந்தாள் ஒளிபெற ஒன்பது பூவைப்

பெற்றதோர் பிள்ளைக்கு ஈந்தாள் பேதையும் ஒருபூ வைத்தாள்

முத்தமிழ்க் கணக்கர் எல்லாம் மோசமில் லாமற் செய்வீர்

இந்த நாலு பாடலின் வழி மூன்று வேறிகளால் [variables] ஆன சமகால இழுனைச் சமன்பாடுகள் [simultaneous Linear Equations] சொல்லப் படுகின்றன. முத்தமிழ்க் கணக்கராகிய நாம் மோசமில்லாது செய்வோமா?

மூன்று தேவிகளும் பறித்த பூக்கள் x,y,z என்று பொருத்திக் கொள்ளுவோம்.

முதல் பாட்டின் மூன்றாம் வரி மூலம் y = x+3, z = y+3 என்று இரு சமன்பாடுகளை அறிகிறோம்.

அடுத்து முதற்பாட்டின் நாலாவது வரிமூலம் ஒரு தேவிக்குக் கிடைத்த பூக்கள் = (x+y+z)/3 என்று அறிகிறோம்.

இரண்டாவது பாட்டின் முதல் வரி மூலம், மாதேவருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/2 என்று அறிகிறோம்.

இரண்டாவது பாட்டின் இரண்டாம் வரி மூலம் முருகருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/5 என்று அறிகிறோம்.

இரண்டாம் பாட்டின் மூன்றாம் வரியின் மூலம் பிள்ளையாருக்கு இட்ட பூக்கள் = [(x+y+z)/3]/4 என்று அறிகிறோம்.

எனவே கோயிலிற் கொடுத்தது போக,

ஒரு தேவி வீட்டிற்குக் கொண்டுவந்தது = (x+y+z)/3 - [(x+y+z)/3]/2 - [(x+y+z)/3]/5 -[(x+y+z)/3]/4 = (x+y+z)/3[1-1/2- 1/5 - 1/4] = [(x+y+z)/3]*(1/20)

= (x+y+z)/60

இனி வீட்டில்,

தந்தைக்குக் கொடுத்தது = [(x+y+z)/60]/2

தோழிக்குக் கொடுத்தது = [(x+y+z)/60]/5

கணவனுக்குக் கொடுதது = {(x+y+z)/60]/10

அவளிடம் மிஞ்சியது = [(x+y+z)/60]*[1-1/2-1/5-1/10] = (x+y+z)/60]*(1/5) = (x+y+z)/300

அடுத்துத்

தானம் கொடுத்தது = 4*5 = 20

பிள்ளைக்குக் கொடுத்தது = 9

தன்னிடம் கடைசியாய் இருந்தது = 1

ஆக அவளிடம் எஞ்சியது = 20+9+1 = 30

மேலே உள்ளதை மீண்டும் யோசித்தால் (x+y+z)/300 என்பது 30 ற்குச் சமமாக அமைந்து மூன்றாவது சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும்.

எனவே (x+y+z) = 300*30 = 9000 பூக்கள் ஆகும்.

இது போக, இன்னும் இரு சமன்பாடுகள் நமக்கு ஏற்கனவே தெரியும் அவை y = x+3, z= y+3

மேலேயுள்ள மூன்று சமன்பாடுகளையும் ஒருங்குசேரச் சுளுவியெடுத்தால், (y-3)+y+(y+3) = 9000; y = 3000; x = 2997; z = 3003 என்ற விடைகள் கிடைக்கும்.

இதுபோல நூற்றுக்கணக்கான புதிரிகள் கணக்கதிகாரத்தில் இருக்கின்றன. வடபுலத்திலும் உண்டு. மற்ற நாகரிகங்களிலும் எழுந்தன. இந்தக் கணக்குத் தொகுதிகளில் 4, 5 வேறிகளைக் கொண்டு சமகால இழுனைச் சமன்பாடுகளாய் இருப்பது ஒருவிதக் கணக்காகும். இன்னொரு வகை முன்னே சொன்ன பாபிலோனியக் கணக்குப் போல் உயர்பாகை இழுனாச் சமன்பாடுகளாய் (Higher degree non-linear equations) அமைவது வேறுவிதக் கணக்காகும். இனி அல்-குவாரிசுமி காட்டிய கணக்கிற்கு வருவோம்.

“ஒரு மூலச் சதுரமும் பத்து மடங்கு மூலமும் சேர்ந்து 39 திர்காமுக்கு விலைபெறும் என்றால் மூலத்தின் அலகு என்ன?”

நாம் அறியா எண் (the unknown number) என்பதை மூலம் (root) என்றே அந்தக் காலத்தில் பயின்றிருக்கிறார்கள். இப்பொழுது வருக்க மூலம் என்ற சொல் வேறு பொருள் தருவதால், மூலம் என்ற பயில்வு கணிதத்தில் இந்த அலகைக் குறிப்பதில்லை.

(square of the unknown plus ten times the unknown equals 39)

i.e. x^2+10*x = 39;

x^2+10x-39 = 0

இதை அல்குவாரிசுமியின் பொத்தகத்தில் எப்படிச் சுளுவியெடுக்கிறார்கள் என்று சொல்லாமல் நேரடியாக குழியேற்ற வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விடையை நாம் எழுதிவிடலாம்

x = [-10 +- (10^2 +4*39)^(1/2)]/2 = [-10+- (100+156)^(1/2)]/2 = [-10+-16]/2 = (3) or (-13)

பாபிலோனியக் கணக்கிலும், அல்குவாரிசுமிக் கணக்கிலும் வரும் சமன்பாடுகளை இந்தக் காலக் கணிதத்தில் தொகுவெண் கெழுக்கள் (integer coefficients) கொண்ட பலனச் சமன்பாடுகள் (polynomial equation) என்று சொல்லுவார்கள்.

குழியேற்றச் சமன்பாடுகள் (quadratic equations),

கனவச் சமன்பாடுகள் (cubic equation),

நாலவச் சமன்பாடுகள் (quartic equation),

கைவகச் சமன்பாடுகள் (quintic equation)

என்று பல்வேறு சமன்பாடுகள் எழமுடியும். இந்தச் சமன்பாடுகளின் தீர்வு ஓர் உள்ளக எண்ணாகவோ (real number), பலக்கிய எண்ணாகவோ (complex number) அமையும். இத்தகைய தீர்வெண்களைப் பொருத்தெண்கள் (algebraic numbers) என்று எண்ணியலிற் சொல்வார்கள்.

பொருத்தெண் = algebraic number = a number, real or complex, that is the root of a polynomial equation with integer coefficients.

-------------------------------------

என்றவற்றிற்கு இணையாய் நல்ல குறுஞ்சொற்களைப் பரிந்துரைக்க முடியும். பல்குதல் என்ற வினைக்குக் கூட்டுதல் என்ற பொருளுண்டு. அந்த வினையால் விளையும் பெயர்ச்சொல் பலை = plus; அதே போல் நொகுதலில் (கழித்தலில்) விளையும் பெயர்ச்சொல் நொகை = minus, negative]. இப்பொழுது, குறிப்பெருக்கல் வாய்ப்பாடு

பலையைக் பலையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்

பலையைக் நொகையாற் பெருக்க நொகை கிடைக்கும்

நொகையைக் பலையாற் பெருக்க நொகை கிடைக்கும்

நொகையைக் நொகையாற் பெருக்கப் பலை கிடைக்கும்

என்று அமையும்.. [பலை*பலை = பலை, பலை*நொகை = நொகை, நொகை*பலை = நொகை, நொகை*நொகை = பலை]

-------------------------------

விட்டத்தில் இருந்து மட்டும் கணக்குப் போடாமல் ஆரத்தோடு அரைச் சுற்றளவைப் பெருக்கினால் வட்டத்தின் பரப்பு துல்லியமாகக் கிடைப்பதையும் அறிந்து வைத்திருந்தனர். காட்டாக,

விட்டத் தரைகொண்டு வட்டத் தரைமாறச்

சட்டெனத் தோன்றும் குழி

என்ற குறள்வெண்பா மூலம் ”கணக்கதிகாரத்தில்” இந்த உண்மையை அறிகிறோம். அதாவது r*(s/2) = a இங்கே r என்பது ஆரத்தையும் s என்பது சுற்றளவையும், a என்பது பரப்பையும் குறிக்கும்

-------------------------------

அன்புடன்,

இராம.கி.

நன்றி - valavu.blogspot.com

கணக்கதிகாரம் – பச்சோந்தி மரமேறும் புதிர் கணக்கு

நமது பழந்தமிழரின் கணித திறனை உலகிற்கு பறைசாற்றும் கணக்கதிகாரத்தில் இருந்து மேலும் ஒருபுதிரை பதிவிடுகிறேன்

“ முப்பத்தி ரண்டு முழம்உளமுப் பனையைத்

தப்பாமல் ஒந்தி தவழ்ந்தேரிச்-செப்பமுடன்

சாணேறி நான்கு விரற்கிழியும் என்பரே

நாணா தொருநாள் நகர்ந்து “

ஒரு பனைமரம் 32 முழம் உயரமுடையது .பச்சோந்தி ஒன்று அதிலேற முயற்சி செய்தது.அது ஒருநாளைக்கு சாண் ஏறி , நாலு விரல் கீழே இறங்குகிறது எனில் எத்தனை நாளில் பச்சோந்திபனைமரத்தை ஏறி முடிக்கும் ?

விளக்கம்

முதலில் பனை மர உயரமான 32 முழத்தை விரற்கடையாக மாற்ற வேண்டும்

12 விரற்கிடை= 1 சாண் ,

2 சாண் = 1 முழம் ,

இதன் மூலம் 24 விரற்கடை = 1 முழம் எனவும் நாம் அறிகிறோம்

எனவே 32 முழம் ஆனது 32*24=768 விரற்கடை ஆகும் .

பச்சோந்தி நாள் ஒன்றுக்கு 12 விரற்கடை ( 1 சாண் ) ஏறி நாலு விரற்கடை கீழிறங்குகிறது .எனவேஅது ஒரு நாளுக்கு (12 – 4=8) 8 விரற்கடை ஏறும்.

பச்சோந்தி மரம் ஏற ஆகும் நாட்கள்

768/8 =96

ஆகவே பச்சோந்தி 96 நாட்களில் மரத்தை ஏறி முடிக்கும்

ஒரு பலாப் பழத்தை அறுக்காமலே அதில் எத்தனை சுளை இருக்கிறது என்பதைக் கண்டறியும் வழி கொடுக்கப் பட்டுள்ளது. "பலவின் சுளையறிய வேண்டிதிரேலாங்கு சிறுமுள்ளுக்காம்பருக்கெண்ணி - யறுகாக ஆறிற்பெருக்கியே யைந்தினுகீந்திடவே வேறென்ன வேண்டாஞ்ச்சுளை" அதாவது பலாப்பழத்தின் காம்பைச் சுற்றயுள்ள முற்களை எண்ணி அதனை ஆறால் பெருக்கினால் வரும் விடையை ஐந்தால் வ‌குத்தால் கிடைப்ப‌து அந்த‌ பலாவில் உள்ள‌ எண்ணிக்கையாகும்.

http://nilanilal.blogspot.com/2011/09/blog-post_22.html

-----------------------

பாடல்:

'மாயோன் மேய காடுறை உலகமும்

சேயோன் மேய மைவரை உலகமும்

வேந்தன் மேய தீம்புனல் உலகமும்

வருணன் மேய பெருமணல் உலகமும்

முல்லை குறிஞ்சி மருதம் நெய்தல் எனச்

சொல்லிய முறையான் சொல்லவும் படுமே.

- தொல்காப்பியம்-பொருளதிகாரம்-அகத்திணை இயல்-பாடல் எண்:5

பொருள்:

'மாயோன் ஆகிய திருமால் பொருந்திய காட்டு உலகமும் சேயோன் ஆகிய முருகன் பொருந்திய மேகங்களை எல்லையாகக் கொண்ட உலகமும் வேந்தன் ஆகிய இந்திரன் பொருந்திய இனிய புனலை உடைய உலகமும் வருணன் ஆகிய சூரியன் பொருந்திய பெருமணலைக் கொண்ட உலகமும் முல்லை, குறிஞ்சி, மருதம், நெய்தல் என்று சொல்லிய முறையால் சொல்லப் படும்.'

தவறுகள்:

இப்பாடலின் முதல் வரியில் 'காடுறை' என்ற சொல்லில் 'டு' என்ற எழுத்துப்பிழையும், நான்காம் வரியில் 'பெருமணல்' என்ற சொல்லில் 'ண' என்ற எழுத்துப் பிழையும் உள்ளது. இவை எவ்வாறு பிழைகள் ஆகின்றன என்று காணும் முன்னர் இப்பாடலில் உள்ள நயங்களைக் காணலாம்.

தொல்காப்பியர் ஒவ்வொரு உலகத்தின் பெயரையும் நேரிடையாகக் கூறாமல் மறைமுகமாக உணரும் வண்ணம் இப்பாடலை இயற்றி உள்ளார். மேகங்களை எல்லையாகக் கொண்ட உலகம் (மைவரை உலகம்) என்று மலையினையும், இனியநீரைக் கொண்ட உலகம் (தீம்புனல் உலகம்) என்று வயலையும் பெரும் ஓசையினைக் கொண்ட உலகம் (பெருமதில் உலகம்) என்று கடலையும் குறிப்பிடுகிறார். இவ்வாறு மற்ற மூன்று உலகங்களின் பெயர்களை மறைமுகமாகக் கூறுபவர் காட்டை மட்டும் நேரடியாகக் கூறுவாரா?. 'காடுறை உலகம்' என்பதில் அந்த உலகத்தின் பெயராகிய காடு என்னும் சொல் வெளிப்படையாக வந்துள்ளது. இவ்வாறு வருவது பிழை ஆகும்.

அன்றியும் ஒவ்வொரு உலகத்தைக் குறிப்பிடும் போது அந்த உலகத்தில் உள்ள சிறப்புப் பொருளைக் கூறி அதன் மூலம் அந்த உலகத்தின் பெயரை உணர வைப்பது தான் தொல்காப்பியரின் உத்தி என்பதால் காட்டு உலகத்தில் உறையும் ஏதோ ஒன்றைக் குறிப்பிடவே 'கா..றை உலகம்' என்கிறார். மேலும் 'காடுறை' என்ற சொல்லுக்கு 'காடு உறையும்' என்று பிரித்துப் பொருள் கொண்டாலும் அது பிழையாகவேத் தோன்றுகிறது. ஏனென்றால் காடு என்பது ஒரு வகை நிலம். அது எங்கே உறையும்?. எனவே 'காடுறை' என்னும் சொல்லில் பிழை உள்ளதை அறியலாம்.

அடுத்து நான்காம் வரியில் வரும் 'பெருமணல் உலகம்' என்பதற்கு 'பெரும் மணற்பரப்பை உடைய உலகம்' என்பது பொருள் ஆகும். மணற்பரப்பு என்பது கடலுக்கு மட்டுமின்றி ஆற்றுக்கும் உரியது. 'பெரும் மணற்பரப்பினை உடைய உலகம்' என்று கூறினால் அது கடலையும் குறிக்கும் ஆற்றையும் குறிக்கும். இதனால் நெய்தலா மருதமா என்ற நில மயக்கம் ஏற்படும் என்பதால் தொல்காப்பியர் இப்படி ஒரு பொதுவான சொல்லைக் (மணல்) கூறி இருக்க முடியாது என்று உறுதியாகச் சொல்ல முடியும். 'தீம்புனல் உலகம்' என்று ஏற்கெனவே மூன்றாம் வரியில் மருதத்தைக் கூறி விட்டாரே பின்னர் என்ன குழப்பம்? என்ற கேள்விக்கு விடை இது தான்: 'தொல்காப்பியர் சிறந்த அறிவாளி. இலக்கண விதிகளை வகுத்து மொழி வழக்கில் தெளிவு ஏற்படச்செய்த பெருந்தகையாளர். அவர் தனது நூலில் பொருள் குழப்பம் ஏற்படும்படியான சொற்களைப் பயன்படுத்தி இருக்க மாட்டார்'. எனவே 'பெருமணல்' என்ற சொல் பிழையானது தான் என்பதை அறியலாம்.

திருத்தங்கள்:

'காடுறை' என்ற சொல்லுக்குப் பதிலாக 'கானுறை' என்று இருக்க வேண்டும். கானுறை = கான்+உறை. கான் என்றால் வாசனை என்று பொருள். 'கானுறை உலகம்' என்றால் 'வாசம் உறையும் உலகம்' அதாவது காடு என்று பொருள். 'பெருமணல்' என்ற சொல்லுக்குப் பதிலாக 'பெருமதில்' என்று வந்திருக்க வேண்டும். மதில் என்ற சொல்லுக்கு 'ஓதை அதாவது அலைஓசை' என்று பொருள். (நன்றி: பிங்கல நிகண்டு - பாடல் எண்: 628).'பெருமதில் உலகம்' என்றால் 'பெரும் ஓசையினை உடைய உலகம்' அதாவது கடல் என்று பொருள்.

நிறுவுதல்:

இப்பாடலை மேலோட்டமாகப் பார்த்தால் வெறும் நிலப்பாகுபாடு மட்டுமே தெரியும். ஆராய்ந்து பார்த்தால் மட்டுமே தொல்காப்பியரின் நுண்ணறிவும் அழகியல் நோக்கும் புலப்படும். நிலத்தை அடையாளம் காட்ட அவர் எடுத்துக் கொண்ட பொருள்கள் மிக அருமையானவை; அவற்றைப் பயன்படுத்தி அவர் விளக்கியுள்ள தன்மையோ அதிசயக்கத் தக்கது. நிலங்கள் ஐந்து என்பதைப் போல நம் புலன்களும் ஐந்து. ஒவ்வொரு நிலமும் ஒவ்வொரு புலனுக்கு இன்பம் தரவல்லது என்னும் கருத்தில் பாலை நீங்கலான ஏனை நான்கு நிலங்களில் உள்ள சிறப்புப் பொருட்கள் மெய் நீங்கலான ஏனை நான்கு புலன்களுக்கு எவ்வாறு இன்பம் தரவல்லது என்று இப்பாடலில் கூருகிறார். அவ்வாறு கூறுவதன் மூலமாகவே அந்தந்த நிலத்தின் பெயரையும் அறியச் செய்கிறார். தொல்காப்பியரின் இந்த உத்தி கீழே விளக்கப்பட்டுள்ளது.

கண்களைக் கட்டிவிட்டு ஒருவரை காட்டுப் பகுதிக்குள் அழைத்துச் செல்லுங்கள். எதையும் பார்க்காமலேயே அது ஒரு காடு என்று அவரால் கூறிவிட முடியும். எப்படி?. காடு என்பது பல வகையான மலர்கள் பூத்துக் குலுங்கும் பெரிய நந்தவனம்; இந்த மலர்களின் வாசமும், இலைகள், கொடிகள் மற்றும் பழங்களின் வாசமும் இணைந்து காட்டிற்குள் நுழைபவரைத் தன் வாசனையால் வரவேற்கும். இந்த வாசனைக்கு 'கான்' என்றொரு பெயர் உண்டு. கான் உடையதால் காட்டிற்கு 'கானகம் (கான்+அகம்)' என்றொரு பெயரும் உண்டு. காட்டிற்கே உரிய இந்த சிறப்பு இயல்பினை உணர்ந்த தொல்காப்பியர் 'காடு' என்று நேரடியாகக் கூறாமல் 'வாசம் உறையும் உலகம்' என்று பொருள்படும்படி 'கான் உறை உலகம்' என்று முதல் வரியில் கூறுகிறார். ஐம்புலன்களில் மூக்கிற்கு இனிய வாசனையைத் தருவதாக முல்லை நிலத்தை அவர் கூறியிருக்கும் பாங்கு இங்கே உணர்ந்து மகிழத்தக்கது.

கருமையாக இருந்தாலும் வெண்மையாக இருந்தாலும் மேகங்களின் அழகே தனி தான். இதில் வெண்மேகங்கள் கரிய நிற மலைகளின் மேல் வெண்ணிற ஆடை போலப் படிந்திருக்குமே அந்தக் கண்கொள்ளாக் காட்சியைக் கண்டிருக்கிறீர்களா? நீங்கள் கண்டிருக்கிறீர்களோ இல்லையோ தொல்காப்பியர் இக்காட்சியைக் கண்டு தன் மனதைப் பறிகொடுத்துவிட்டார் என்றே சொல்லவேண்டும். பாருங்கள், 'மலை' என்று கூறாமல் 'மேகங்களை எல்லையாகக் கொண்ட உலகம்' என்று இரண்டாம் வரியில் (மை = மேகம்; வரை = எல்லை) எவ்வளவு நயமாகச் சொல்லுகிறார். அன்றியும் சில நேரங்களில் மலையே தெரியாத அளவுக்கு மேகங்கள் மூடியிருக்கும். ஆனாலும் அங்கே மலை இருப்பதை ஒருவர் தூரத்தில் இருந்துகொண்டே அங்கிருக்கும் மேகக்கூட்டத்தை வைத்து அடையாளம் காணமுடியும். ஐம்புலன்களில் கண்ணுக்கு இனிய காட்சியைத் தருவதாக குறிஞ்சி நிலத்தை அவர் கூறியிருக்கும் பாங்கு இங்கே உணர்ந்து மகிழத்தக்கது.

முல்லையை வாசனையாலும் குறிஞ்சியை மேகக்காட்சியாலும் அறிந்துகொள்வது போல மருதநிலத்தை அங்கே உள்ள நீரின் சுவையால் அறிந்து கொள்ளலாம். இனிய சுவையினை உடைய நீர் மருத நிலத்தின் சிறப்புப் பொருள் ஆகும். ஆறு,குளம்,ஏரி,கிணறு என்று பலவகையான நீர்நிலைகளை உடைய மருதநிலத்தை 'தீம்புனல் உலகம்' என்று ஐம்புலன்களில் நாவிற்கு இனிய நீரினால் அறியவைத்த பாங்கு இங்கே உணர்ந்து மகிழத்தக்கது.

கடற்கரைக்குச் சென்று அமர்ந்துகொண்டு கண்களை மூடியவாறு கடல் அலைகளின் ஓசையைத் தொடர்ந்து கேட்டிருக்கிறீர்களா?. அது ஒரு சுகமான அனுபவமாய் இருக்கும். அந்த ஓசையில் உலகத்தை மறந்து உங்கள் மனம் ஒருமைப்படும். கடல் அலைகளின் இந்த ஓசைக்கு 'ஓதை' என்று பெயர். கண்ணை மூடிக்கொண்டு இருந்தாலும் அருகில் கடல் இருப்பதை இந்த ஓதையால் ஒருவர் அறிந்துகொள்ளமுடியும். கடலுக்கே உரிய இந்த சிறப்பு இயல்பினை அறிந்த தொல்காப்பியர் 'கடல்' என்று நேரடியாகக் கூறாமல் 'பெரும் ஓசை உடைய உலகம்' என்று பொருள்படும்படி 'பெருமதில் உலகம்' என்று நான்காம் வரியில் கூறுகிறார். ஐம்புலன்களில் காதிற்கு இனிய ஓசையைத் தருவதாக நெய்தல் நிலத்தை அவர் கூறியிருக்கும் பாங்கு இங்கே உணர்ந்து மகிழத்தக்கது.

தொல்காப்பியர் கையாண்டுள்ள இந்த உத்தி எவ்வளவு நேர்த்தியானது என்பதை அறிந்திருப்பீர்கள். இதில் இருந்து இப்பாடலின் சரியான பொருளையும் அறிந்திருப்பீர்கள். அது இது தான்: ' மாயோன் ஆகிய திருமால் பொருந்திய வாசனை உறையும் உலகமும் சேயோன் ஆகிய முருகன் பொருந்திய மேகங்களை எல்லையாகக் கொண்ட உலகமும் வேந்தன் ஆகிய இந்திரன் பொருந்திய இனிய புனலை உடைய உலகமும் வருணன் ஆகிய சூரியன் பொருந்திய பெரும் ஓசையினை உடைய உலகமும் முல்லை, குறிஞ்சி, மருதம், நெய்தல் என்று சொல்லிய முறையால் சொல்லப் படும்.'

சரியான பாடல்:

'மாயோன் மேய கானுறை உலகமும்

சேயோன் மேய மைவரை உலகமும்

வேந்தன் மேய தீம்புனல் உலகமும்

வருணன் மேய பெருமதில் உலகமும்

முல்லை குறிஞ்சி மருதம் நெய்தல் எனச்

சொல்லிய முறையான் சொல்லவும் படுமே.'

www.keetru.com

ஐரோப்பிய கணித மேதைகள், "பித்தகோரஸ் தேற்றத்'தை,

விளக்குவதற்கு பல நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்,

அதாவது, 6வது நூற்றாண்டிலேயே புதையனார் என்ற தமிழர்

செங்கோன முக்கோணத்தில்

கர்ணத்தின் அளவைக் கண்டுபிடிக்கும் எளிய வழியைக் கண்டறிந்தார்.

அவர் எழுதிய கணிதப் பாடல்.

"ஓடிய நீளந்தன்னை

ஓரெட்ட்டுக் கூறதாக்கி

கூறிலே ஒன்று தள்ளி

குன்றத்தில் பாதி சேர்த்தால்

வருவது கர்ணம்தானே".

**************************************

அதாவது பிதாகரஸ் தேற்றம்:

A² + B² = C²

3^2 + 4^2 = 5^2

9 + 16 = 25

25 = 25

C=5

**************************​

இனி, புதையனாரின் சூத்திரம்:

ஓடிய நீளந்தன்னை - கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் இரண்டு அளவுகளில்

பெரிய அளவை,

ஓரெட்ட்டுக் கூறதாக்கி - எட்டு பாகங்களாக்கி,

கூறிலே ஒன்று தள்ளி- அதிலிருந்து ஒரு பாகத்தைக் கழித்து,

( பெரிய அளவான 4 ஐ எட்டு பாகங்களாக்கி, /அதிலிருந்து

ஒரு பாகத்தைக் கழித்தால் வருவது மூன்றரை.

குன்றத்தில் பாதி சேர்த்தால் வருவது கர்ணம்தானே.-

குன்றம் என்பது கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் மற்றொரு அளவு.

மற்றொரு அளவு மூன்றில் பாதி ஒன்றரை.

இதனுடன் ஏற்கனவே கணக்கிடப்பட்டு மீந்த

அளவான மூன்றரையையும் சேர்த்தால் கிடைப்பது ஐந்து.

C=5

www.anbarasanpoems.blogspot.com

தமிழில் இடமிருந்தும், வலமிருந்தும் வாசிக்கக் கூடிய சொற்களை கேள்விப்பட்டுள்ளேன்.

ஆனால் பாடலும் உள்ளதை இப்போ... தான் அறிகின்றேன். இணைப்பிற்கு நன்றி உடையார்.