கணித சஞ்சாரம்

வெங்கட்ராமன் கோபாலன்

எண்ணற்ற புள்ளிக் கோலங்களை வரைய ஓர் எளிய வழி

கணிதம் இயற்கையின் தாய்மொழி என்று சொல்லப்படுகிறது- அண்டத்தில் நிகழும் அத்தனை நிகழ்வுகளையும் நெறிப்படுத்தும் அறிவியல் விதிகளை விவரிக்கும் ஆற்றல் கொண்ட மொழி. கலை உலகுக்கும் அது போன்ற ஒரு உலகமொழி உண்டா? பல்வகைப்பட்ட கலை வடிவங்களையும் ஒற்றைச் சரட்டில் பின்னும் இயற்கை விதிகள் உண்டா?

இந்தக் கேள்விக்கு விடை காண்பது அவ்வளவு எளிதல்ல. ஏனெனில், கலைத்தன்மை என்று சொல்லப்படுவதில் பெரும்பாலானவை மனித புலன் அனுபவ எல்லைகளுக்கு உட்பட்டது. மாற்றவே முடியாத உலகப் பொதுத்தன்மை கொண்ட விதிகளுக்குக் கட்டுப்பட்டவை என்று சொல்ல முடியாது. இது இப்படி இருந்தாலும்கூட சில கலைகளின் வடிவ அமைப்பைக் கொண்டு அவை ரத்த சமபந்தம் கொண்டவை என்று நம்மால் தொகுக்க முடியும்- இவற்றுக்கிடையே தெளிவாய் வரையறை செய்யப்பட்ட விதிகள் இருப்பதை நாம் உணர முடியும், இவை அனைவராலும் என்று சொல்ல முடியாவிட்டாலும், பரவலாக ஏற்றுக் கொள்ளப்பட்ட விதிமுறைகள். கோலம் அப்படிப்பட்ட ஒரு கலைத் தொகுப்பு.

தென்னிந்தியாவில் சிக்குக் கோலம் பரவலாக வரையப்படுகிறது. முடிச்சு என்று பொருள் தரும் ஆங்கிலச் சொல்தான் knot, அதையே சிக்கு என்றும் சொல்கிறோம். ஜான் லாயார்ட் என்ற ஆங்கிலேயே மானுடவியலாளர், 1914 மற்றும்1915 ஆகிய இரு ஆண்டுகளையும் வனுவாட்டு (Vanuatu) என்ற தேசத்தில் உள்ள மாலகுலா என்ற தீவில் கழித்தார். இந்தத் தீவு ஆஸ்திரேலியாவின் கிழக்குக் கடற்கரையிலிருந்து 2000 கிலோமீட்டர் தொலைவில் கோரல் சீயின் மத்தியில் இருக்கிறது. தென்னிந்தியாவில் உள்ள சென்னையிலிருந்து 10,100 கிலோமீட்டர் தூரம் இருக்கும். இத்தனை தொலைவில் இருந்தபோதும், மாலகுலாவின் மக்கள் தென்னிந்தியாவின் சிக்குக் கோலத்தைப் போன்ற அமைப்பில் தங்கள் உடலில் பச்சை குத்திக் கொள்கின்றனர் என்று அவர் கண்டறிந்தார்[1]. முடிச்சுகள் மற்றும் லூப்- தொடர்புடைய கலை வடிவங்களை ஆர்வத்துடன் ஆய்வுக்குட்படுத்தும் ஷோஜிரோ நகாட்டா ஜப்பானில் உள்ள கனாகவாவின் இன்டர்விஷன் இன்ஸ்டிட்யூட்டின் தலைவராக தற்போது பணியாற்றுகிறார். அயர்லாந்தின் செல்டிக் முடிச்சுகள், சீனா, தாய்வான், கொரியா மற்றும் ஜப்பானின் ஆசிய முடிச்சுகள் போன்ற உலகெங்கும் உள்ள கலைவடிவங்களுக்கும் சிக்குக் கோலத்துக்கும் இடையிலுள்ள ஒற்றுமைகளை அவர் சுட்டிக் காட்டியுள்ளார்[2]. முடிச்சு-கோட்பாடு மற்றும் நிலவுருவியல் (topology) ஆகிய துறைகளில் விளங்கும் கணித அடிப்படைகள், மிகத் தொலை தூரத்திலும் வெவ்வேறு காலகட்டங்களைச் சார்ந்ததாகவும் உள்ள இக்கலைவடிவங்களின் பொதுமொழியாக உருவம் பெறவே செய்கிறது. கணிதத்தின் மறைந்து இயங்கும் கையொன்றின் வழிகாட்டுதலில் மனிதர்கள் இந்தக் கலைவடிவை வந்தடைந்திருக்கிறார்கள் போலிருக்கிறது.

இந்தக் கட்டுரை சிக்குக் கோலங்களை புதிய ஒரு அணுகுமுறையின் பார்வையில் விவரிக்கிறது. கட்டுரையாசிரியர் மற்றும் அவரது சக ஆய்வாளர் இருவரும் இந்த அணுகுமுறையை அண்மையில் அறிமுகப்படுத்தியுள்ளனர்[3]. உருவியல் துறை சார்ந்த அணுகுமுறை இது. வடிவ இயலின் (geometry) ஒரு பகுதிதான் உருவியல்.  பொருட்களின் வடிவம் மற்றும் அளவு ஆகியனவற்றை எவ்வளவு வேண்டுமானாலும் வளைத்துக் கொள்ள உருவியல் அனுமதிக்கிறது, ஒரு பொருளின் உட்கூறுகளுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்புதான் உருவியலின் முக்கிய அம்சம். டோனட், காப்பி கோப்பை ஆகிய இரண்டும் அடிக்கடி சுட்டப்படும் பொது உதாரணங்கள்- இவற்றின் வடிவவியல் மிகவும் வேறுபட்டு இருப்பினும் உருவியல் ஒற்றுமையைக் காணலாம்.  விக்கிபீடியாவில் இது ஒரு அனிமேஷனாகக் காட்டப்பட்டிருக்கிறது[4].

இது போலவே ஒரு தாய்க்கோலத்தை இனங்கண்டு அதனுள் காணப்படும் பல்வேறு வடிவவியல் தொடர்புறுதல்களை ஆய்வு செய்து பற்பல சேய்க்கோலங்கள் தோன்ற முடியும் என்று இந்த அணுகுமுறை அடையாளம் காண்கிறது. இக்கலை வடிவத்தின் பின்னுள்ள கணிதம் குறித்து அறிந்து கொள்ள முயற்சி செய்யாமலே  யார் வேண்டுமானாலும் மிகப்பெரும் எண்ணிக்கையில் கோலங்கள் வரைய இந்த அணுகுமுறை வழி செய்கிறது என்று உணர்த்துவதே இந்தக் கட்டுரையின் நோக்கம். உடனடியாக மெக்கானிக் ஆகாமலே ஓட்டக் கற்றுக் கொண்டு எங்கு வேண்டுமானாலும் செல்ல உதவும் சிறப்பாக வடிவமைக்கப்பட்ட கார் போல் இந்த அணுகுமுறை கோலங்களை உங்களுக்கு அறிமுகப்படுத்தும் என்பதுதான் இதன் அழகு. புதுக்காரின் பானட்டைத் திறந்து பார்ப்பதில் ஆர்வமுள்ளவர்களுக்கு அடுத்துசில கட்டுரைகள் வரவிருக்கின்றன. அதில் இந்த அணுகுமுறையை இன்னும் ஆழமாகவும் அழகாகவும் அறிமுகப்படுத்தப் போகிறேன். அது மட்டுமல்ல, பலவகைகளில் வேறுபட்டதுபோல் தோற்றமளிக்கும் உலகம் எங்குமுள்ள பற்பல கலைவடிவங்களை ஒன்றுக்கு ஒன்று தொடர்பு கொண்டவையாக இந்த அணுகுமுறை அறிமுகப்படுத்தப் போகிறது.

ஆந்திர பிரதேசம், கர்நாடகா, கேரளா, தமிழ்நாடு, தெலுங்கானா என்று தென்னிந்தியாவில் உள்ள ஐந்து மாநிலங்களின் மக்கள் தொகை கிட்டத்தட்ட 252 மில்லியன் இருக்கும். ஏறத்தாழ இவர்கள் அனைவருமே விடியற்காலை எழுந்தவுடன் வீட்டு வாசலில் தண்ணீர் தெளித்துச் சுத்தம் செய்து சிக்குக்கோலம் போடுகிறார்கள். சிக்குக் கோலம் என்ற கலை வடிவம், சீராக உள்ள சமதளத்தில் வரிசையாக புள்ளி வைத்து அதைச் சுற்றி வளைத்து கோல மாவால் வரையப்படும் கோட்டோவியம். இந்தக் கோலங்களில் உள்ள கோடுகளின் துவக்கம், முடிவு என்று இரு  முனைகளும் எப்போதும் இணைந்தே இருக்கும். எனவே இவை புள்ளிக் கோலங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. அவை அலங்காரங்களாக இருந்த போதும், செல்வத்தின் தெய்வமான லட்சுமியை இல்லத்தினுள் அழைக்கும் வரவேற்பாகவும் இவை பொருட்படுகின்றன. அரிசி மாவில் வரையப்படும்போது இவை பறவைகளுக்கும் எறும்புகளுக்கும் உணவு அளிக்கின்றன, இதன்மூலம் பிற ஜீவராசிகளையும் நம் அன்றாட வாழ்வில் பங்கேற்க அழைப்பு விடுக்கின்றன. மீண்டும் மீண்டும் வரையப்படும் ஒரே மோஸ்தரில் பல கோல அமைப்புகள் வரையப்படுகின்றன. இவை தவிர அருவ வடிவமைப்பு, ராசிக் குறிகள், சமயம் சார்ந்த குறியீடுகளும் கோலங்களில் காணப்படுகின்றன. கோல வடிவங்கள் பருவ காலத்துக்கு ஏற்ப மாறுவதுண்டு- சில கோலங்கள் பண்டிகைகள் மற்றும் திருமணச் சடங்குகளுக்காகவே பிரத்யேகமாக வரையப்படுகின்றன.  அவை மிக விரிவான வடிவம் கொண்டைவையாக இருப்பதும் உண்டு, தலைமுறை தலைமுறையாக இந்தக் கோலங்கள் அடுத்த சந்ததியினருக்குக் கைமாற்றி அளிக்கப்படுகின்றன.

புள்ளிக் கோலம் போடத் துவங்குவது என்பது பயணம் புறப்படுவது போன்றது. ஆச்சரியப்படுத்தும் நெளிகளும் சுழிகளும் கொண்ட பாதையும், எதிர்பாராத வகையில் திரும்பி துவக்கத்தை வந்தடைவதும் புள்ளிக் கோலம் வரைவதன் அடிப்படை ஆனந்தங்கள்.

சிக்குக் கோலத்தின் செவ்விய வடிவம் மேலே இடப்புறம் அளிக்கப்பட்டிருக்கிறது.  இந்த வகை கோலத்தில் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கை கொண்ட வரிசைகளாய் புள்ளிகள் வைத்து அத்தனை புள்ளிகளையும் சுற்றி வளைக்கும் வகையில் கோடிழுக்கப்படுகிறது- இந்தக் கோடு துவக்க இடத்தில் முடிகிறது, அத்தனை புள்ளிகளையும் இது சுழித்து விடுகிறது. படத்தில் உள்ள கோலத்தில் அம்புக்குறிகளைப் பார்க்கிறீர்கள்- இவை கோடு இழுத்துக்கப்படும் திசையைக் குறிக்கின்றன.

இதற்கு மாறாய், புதிர்முறைக் கோலம் என்று ஒன்றை வடிவமைக்கலாம் (Puzzle Method). இது கோலத்தை ஒரு புதிராக அணுகுகிறது. ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு புதிர்த் துண்டம். இவற்றை வெவ்வேறு வகைகளில் தொகுத்து புதுப்புது கோலங்கள் வரைய முடியும்.

இந்தக் கோலங்களை நாம் எங்கிருந்து அறிந்து கொண்டோம்? நம் வாழ்வில் நம்மோடுள்ள பெண்கள் மூலம் நம்மில் பெரும்பாலானோர் கற்றுக் கொள்ளும் செவ்விய வடிவ கோலங்களில் ஒவ்வொரு கோலத்துக்கும் இத்தனை வரிசை, வரிசைக்கு இத்தனை புள்ளி என்று ஒரு ஒழுங்கு உண்டு. இவற்றைக் கொஞ்சம்  சிரமப்பட்டுதான் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும், கற்றுக் கொண்டதை நினைவில் வைத்துக் கொள்வதும் கஷ்டம்- இதற்கென்றே கோலப்புத்தகங்கள் இருக்கின்றன. ஆனால் வரிசைப்படுத்தப்படாத, ஒழுங்கற்ற வகையில் (random) அமைக்கப்பட்ட புள்ளிகளைக் கொண்டும் மிகவும் சிக்கலான கோலங்கள் வரைய முடியும் என்று சொன்னால் எப்படி இருக்கும்? ஒரு கிரிக்கெட் மைதானத்தை நிரப்பும் அளவுக்கு ஏராளமான புள்ளிகள், அவை வரிசை ஒழுங்கின்றி ஆங்காங்கே சிதறிக் கிடக்கின்றன, அத்தனை புள்ளிகளையும் தன்னுள் திரட்டும்  பயணத்தின் ஒரு கோட்டுப் பாதையில் எத்தனை வளைந்தாலும் சுழித்துத் திரும்பினாலும் தொலைந்து போகவே வாய்ப்பில்லாத வகையில் நூல் பிடித்தாற்போல் ஆரம்பித்த இடத்துக்கே திரும்பி வர உத்திரவாதமாய் ஒரு வழி இருக்கிறது என்று சொன்னால் எப்படி இருக்கும்? இனி ஒரு கோலம் கூட நினைவில் வைத்துக்கொள்ள வேண்டாம், நினைத்த மாத்திரத்தில் புதுப்புதுக் கோலங்கள் வரையலாம் என்று சொன்னால் எப்படி இருக்கும்?

புதிர்க்கோலம் என்ற புதிய முறை கோலம் இதைச் சாத்தியப்படுத்துகிறது.

மேலே உள்ள கோலத்தைக் கவனமாகப் பாருங்கள். கோலத்தின் அடிப்படைப் பண்புகள் பற்றி இது என்ன சொல்கிறது என்பதை யோசித்துப் பாருங்கள். ஒவ்வொரு கோலமும் மூன்று விதிகளுக்குக் கட்டுப்பட்டாக வேண்டும் என்று சொல்வேன்

• முதலாவதாக, புள்ளிகளைச் சுற்றி வளையம் இருக்க வேண்டும்.
• இரண்டாவதாக, நாம் வரையும் கோடுகளில் திறந்த முனைகள் இருக்கக்கூடாது. அதாவது, அவை துவங்கிய இடத்திலேயே முடிய வேண்டும்.
• மூன்றாவதாக, கோடுகளின் இரு துண்டங்கள் ஒன்றன் மீது ஒன்று வரையப்படக் கூடாது. அதாவது, அவை ஒன்ரையோன்றைக் கடக்கும் இடம் புள்ளியாக இருக்க வேண்டும்.

புதிர்க்கோல முறையில் ஒவ்வொரு புள்ளியும் அதைவிடப் பெரிய ஒரு புதிரின் துண்டமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. புள்ளிகளைச் சுற்றி நெகிழ்ச்சித்தன்மை கொண்ட லூப்லைன்கள் வரையப்படுகின்றன. துண்டங்களின் எண்ணிக்கைக்கும் அவை ஒன்றையொன்று எவ்வகையில் தொடர்பு கொள்கின்றன என்பதற்கும் ஏற்ற வகையில் எண்ணற்ற வடிவங்களில் கோலம் வரைய முடியும்.

கீழுள்ள உதாரணம் இவ்வகை கோலம் வரைய கற்றுக்கொள்ள உதவும்-

 

முதலில் நாம் ஒரு சமதளத்தில் நாம் விருப்பப்பட்ட வகையில் புள்ளிகள் வைத்துக் கொள்ள வேண்டும். இவை எவ்வளவு வேண்டுமானால் இருக்கலாம், எப்படி வேண்டுமானால் இருக்கலாம். இனி அடுத்தடுத்த புள்ளிகளுக்கு இடையே ஒரு சிறு கோடு வரைய வேண்டும். மேலே உள்ள படத்தில் இவை சிவப்பு வண்ணத்தில் உள்ளன. இந்தச் சிறு கோடுகளை நாம் பிரி என்று அழைக்கலாம் (பிரிதல், பிரித்தல் என்ற பொருளில்).

இரண்டாவதாக நாம் ஒவ்வொரு புள்ளியைச் சுற்றியும் ஒரு பிறைகோடு (லூப்லைன்) வரைவோம், இவை குறிப்பிட்ட வடிவம் கொண்டிருக்க வேண்டியதில்லை, கைபோன போக்கில் வரையலாம், ஒவ்வொரு லூப்லைனும் கோணல் பிறை போல் ஒரு புள்ளியை வளைத்திருக்க வேண்டும், அவ்வளவுதான். இந்தப் பிறைகளின் இருபுறமும் கை போன்ற ஒன்று நீண்டிருப்பதால் இவற்றைப் பிரேதா என்றுதான் அழைப்போமே? பேய் போன்ற சின்னச் சின்ன உருவங்கள் நம் நினைவுக்கு வருகிறது, இல்லையா? எனவே, ஒவ்வொரு புள்ளிக்கு இரு புறமும் பிரி என்ற சிறு கோடு. புள்ளியைச் சுற்றி நாம் பிறை வடிவில் வரையும் பிரேதாவின் இரு கரங்களும் இந்தப் பிரிகளைப் பற்றிக் கொண்டிருக்கும்.  இனி இதைச் சற்று கவனியுங்கள். அருகருகே இருக்கும் இணை பிரேதாக்களின் கரங்கள் சந்திக்கும் பிரிகள் தொடுவாய் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இப்போது நமக்கு ஆதி கோலம் கிடைத்து விட்டது, இனி இதிலிருந்து எண்ணற்ற கோலங்கள் வரைய முடியும். எப்படி என்று கேட்கிறீர்களா?

அடுத்து மூன்றாவதாக, நாம் ஒவ்வொரு தொடுவாயையும் உறிபிணையாகவோ முறிபிணையாகவே மாற்றிக் கொள்ளலாம். இதென்ன உறிபிணை, முறிபிணை?  தொடுவாய்களில் பிரேதாவின் கரங்கள் சந்திக்கின்றன அல்லவா? அப்போது ஒன்றையொன்று குறுக்கே கடந்து செல்லும்போது அவை கண்ணன் கதைகளில் வரும் வெண்ணெய் தாங்கும் உறிகள் போல் புள்ளிகளைத் தாங்குகின்றன- எனவே இவை உறிபிணைகள். முறிபிணைகள் தொடுவாய்க்கு வரும் பிரேதாவின் கரங்களை வெட்டி விலக்குகின்றன.

நம் அழகுணர்வுக்கு ஏற்ற வகையில் நாம் நம் விருப்பப்படி தொடுவாய்களை உறிபிணைகளாகவும் முறிபிணைகளாகவும் மாற்றிக் கொள்ளலாம்.

இறுதியாக நாம் செய்ய வேண்டியது இதுதான். ஏதோ ஒரு பிரேதாவை எடுத்துக் கொள்வோம். அதன் ஒரு கரத்திலிருந்து தொடுவாயை நோக்கிக் கோடு இழுத்துச் செல்வோம். அங்கு உறிபிணை இருந்தால் நாம் அதன் குறுக்கே கடந்து செல்வோம், முறிபிணை இருந்தால் விலகிச் செல்வோம். துவக்க இடத்துக்குத் திரும்பும் வரை இந்தக் கோட்டினை வரைய வேண்டும். இதன் பின் எங்காவது ஏதும் புள்ளிகள் சுற்றி வ்லைக்கப்படாமல் இருந்தால் அந்தப் புள்ளியையொட்டிய பிரேதாவின் கரத்திலிருந்து புதிய கோடு ஒன்று இழுத்து முதலில் செய்தது போல் இப்போதும் செய்ய வேண்டும். அத்தனை புள்ளிகளும் கோட்டுக்குள் வரும்வரை இதைச் செய்தால் கோலம் தயார்.

எத்தனை புள்ளிகள் வேண்டுமானால் இருக்கலாம், அவை எப்படி வேண்டுமானால் இருக்கலாம்,  அவற்றைக் கொண்டு கோலம் வரைய முடியும் என்பதுதான் புதிர்க்கோலத்தின் மகத்துவம். மேலே காட்டிய உதாரணத்தில் உள்ள தாய்க்கோலம் 15 தொடுவாய்கள் கொண்டது.  அதன் எந்த ஒரு தொடுபுள்ளியும் உறிபிணையாகவோ முறிபிணையாகவோ இருக்க முடியும். எனவே இதைக் கொண்டு, is 15²=225 கோலங்கள் வரைய முடியும். இந்த 225 கோலங்களில் ஒன்றுதான் நாம் பார்த்தது. உண்மையில் மேலே உள்ள கோலத்தின் 12 புள்ளிகளின் ஒவ்வொரு இணைபுள்ளிகளையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால் 66 தொடுவாய்கள் இருக்க முடியும். இது தவிர ஒவ்வொரு தொடுவாயும் பல்வகை பிணைகளுக்கு இடம் கொடுக்க முடியும் என்பது மட்டுமல்ல இரு பிரேதாக்களுக்கு இடையே ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட தொடுவாய்களும் சாத்தியம். எனவே ஒற்றைத் தாய்க்கோலம் எண்ணற்ற பிள்ளைக்கோலங்களுக்கு வழிவகுக்கிறது. இனி வரும் கட்டுரைகள் இவற்றை விரிவாக விளக்கப் போகின்றன.

கீழே உள்ளது போன்ற 7*7= 49 புள்ளிகள் என்ற வரிசையில் புதிர் வழிமுறையைக் கொண்டு நான்  வடிவமைத்த விரிவான கோலத்துடன் இந்தக் கட்டுரையை முடித்துக் கொள்வோம். 49 புள்ளிகள் மற்றும் இருவகை பிணைகளைக் கொண்டு நாம் வரையக்கூடிய 2¹¹⁷⁶ கோலங்களில் ஒன்று மட்டுமே இது என்பது நினைவில் இருக்கட்டும். உலகத்திலேயே ~2⁷⁰ நட்சத்திரங்கள்தான் உண்டு என்பதைப் பார்க்கும்போது இது நட்சத்திரங்களின் எண்ணிக்கையைவிட பல மடங்கு பெரியது எனபது தெரியும்!

ஓவியத்தின் இடப்புறம் முதல் மூன்று வழிமுறைகள் சுருக்கமாகக் கூறப்பட்டிருகின்றன- அங்கு 49 சிவப்புப் புள்ளிகள் ஒரு சதுர மனையில் இருத்தப்பட்டிருக்கின்றன. அத்லுள்ள சிறு சிவந்த வண்ணக் கோடுகள் அருகாமையில் உள்ள புள்ளிகளின் தொடுமுனையைக் குறிக்கின்றன, சாம்பல் நிற பிரேதாக்கள் ஒவ்வொரு புள்ளியைச் சுற்றியும் அருகில் உள்ள பிரேதாவைத் அவற்றுக்குரிய தொடுமுனையில் தொடும் வகையில் வரையப்பட்டிருக்கின்றன, ஊதா நிற கத்தரிக்கோல்கள் முறிபிணைகளைக் குறிக்கின்றன- இது கலையின் அடிப்படையில் செய்யப்பட்டிருக்கிறது. முறிபிணைகளைத் தேர்ந்தெடுத்தபின் இதனால் உருவாகும் கோலத்தை நிறைவு செய்கிறேன். கோலம் வடிவம் பெற்றபின் அழகுக்காக இன்னும் சில புள்ளிகள் வைக்கலாம்- ஆனால் நான் மேற்சொன்ன மூன்று அடிப்படை விதிகளும் மீறப்படக்கூடது. இந்த பன்னிரண்டு கூடுதல் புள்ளிகளும் வலப்புறம் காட்டப்பட்டிருக்கின்றன.

அடுத்த முறை உங்கள் தாயோ பாட்டியோ கோலம் போடும்போது அதன் தாய்க்கோலம் எதுவென்று பாருங்கள். அப்போது அதிலிருந்து பிறக்கக் காத்திருக்கும் எண்ணற்ற சேய்க் கோலங்களை அறிவீர்கள். அவள் வரைந்த கோலத்தின் சகோதர கோலங்களான ஆனந்த கோலங்களை வரைத்து நீங்கள் இப்போது அவரை ஆச்சரியப்படுத்தவும் முடியும்.

புதிர்க்கோலம் பற்றி மேலும் அறிய, இங்கே ஒரு காணொளி இருக்கிறது.

இது குறித்த கணிதக்கட்டுரை இங்கே

அ) A topological approach to creating any pulli kolam, an artform from South India

ஆ) Forma 30: பக் 35–41, 2015: Venkatraman Gopalan∗and Brian K. Vanleeuwen

~oOo~

அடிக்குறிப்புகள்

[1] J. Layard, Labyrinth ritual in south India: Threshold and Tattoo Designs, Folklore, 48, 115-182 (1937). http://www.jstor.org/stable/1257243?seq=1#page_scan_tab_contents

 

[2] S. Nagata, Loop patterns in Japan and Asia, Forma, 30, 19-33, 2015. http://www.scipress.org/journals/forma/pdf/3001/30010019.pdf

 

[3]V. Gopalan, and B. K. Vanleeuwen, A Topological approach to creating any pulli kolam, an artform from South India, Forma, 30, 35-41 (2015).   http://www.scipress.org/journals/forma/pdf/3001/30010035.pdf  and http://arxiv.org/pdf/1503.02130v2.pdf

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Topology#/media/File:Mug_and_Torus_morph.gif