"சிந்து சம வெளி மக்களின் கேத்திர கணித அறிவு"

 

 

சுல்ப சூத்திரத்தில் (Shulba Sutras, 800-200 BC) விவரிக்கப் பட்ட கேத்திர கணித கொள்கைகளே இந்தியா உப கண்டத்தில் கணிதத்தின் ஆரம்பமாக முதலில் [அதிகமாக] கருதப்பட்டது. பலி பீடங்களை அமைப்பதற்கான விதிகளை உரைக்கும் இந்த சுல்ப சூத்திரம், வேதத்தின் [Vedas] ஒரு பிற்சேர்க்கை ஆகும். கணித ரீதியாக மிக முக்கியமான நாலு சுல்ப சூத்திர பகுதிகள் பௌத்தயானா [Baudhayana, 800 BC)], மானவ [Manava, 750 BC], அபஸ்தம்பா [Apastamba, 600 BC], கட்யயன [Katyayana, 200 BC] போன்றவர்களால் தொகுக்கப் பட்டது. இவர்களைப் பற்றி பெரிதாக ஒன்றும் தெரியாது. இதில் இந்தியாவின் முதல் கணிதக் குறிப்பை வழங்கியவர் பெளத்தயானா ஆகும்.

 

'மூலை விட்டத்தின் பக்க அளவில் அமைந்த பரப்பானது, மற்ற இரு பக்கங்களின் நீள அளவுகளில் அமைந்த பரப்புக்குச் சமம்’ ["A rope stretched along the length of the diagonal produces an area which the vertical and horizontal sides make together"] என்பது இவரது அற்புதமான கணிதச் சிந்தனையாகும். இந்தக் குறிப்பில் தோன்றும் வடிவம், செவ்வகம் என பௌத்தயானா வெளிப்படையாகக் குறிப்பிட வில்லை. எனினும், அந்தக் குறிப்பில் செவ்வக வடிவம் மறை முகமாகத் தோன்றுவதை நாம் உணரலாம். எப்படியாயினும் பௌத்தயானா உண்மையில் செவ்வக வடிவைத் தான் குறிப்பிட்டாரா என்பது இன்னும் ஒரு ஆய்வுக்குரிய கேள்வியாகவே விளங்குகிறது. இவர் வழங்கிய மற்றொரு குறிப்பில்,

 

‘ஒரு சதுரத்தின் குறுக்களவில் அமைந்த பரப்பானது, அதன் பரப்புக்கு இரு மடங்காக அமையும்’

 

என மிகத் தெளிவாகக் கூறியிருக்கிறார். இந்தச் சிந்தனை, இரு சமபக்க செங்கோண முக்கோணங்களுக்கான பைத்தாகரஸ் தேற்ற உண்மையை வெளிப் படுத்துகிறது. இந்த தேற்றத்தை பயன் படுத்தியே, யாக குண்டங்கள், பலிபீடங்கள் போன்ற வழிபாட்டு முறைகளுக்குப் பயன்படும் கட்டமைப்புகளை இவர் ஏற்படுத்தினர்.

 

மானவ பெரும்பாலும் ஒரு வேதகால குருவாகவே காலம் கடத்தினார். இவரின் சூத்திரம் மற்றவை போன்று அவ்வளவு முக்கியம் பெறவில்லை. எனினும் இவரின் சுத்திரத்தில் π இன் பெறுமானம் = 25/8 = 3.125 என குறிக்கப்பட்டு உள்ளது குறிப்பிடத்தக்கது.

 

அபஸ்தம்பா கி.மு. ஆறாம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த, இந்தியக் கணித மேதை. தனக்கு முன் தோன்றிய பௌத்தயானாவைப் போன்றே, தனது கணிதச் சிந்தனைகளை 'சுல்ப சூத்திரம்’ என்ற குறிப்புகளில் வழங்கினார். தனது கணிதக் கண்டு பிடிப்புகளை, யாக குண்டங்களின் வடிவமைப்புக்கும், சிலை, தூண், கோபுரம் போன்ற தெய்வ வழிபாட்டுக்குத் தேவைப்படும் பொருட்களை நுட்பமாக அமைப்பதற்குமே பெரும்பாலும் வழங்கியிருந்தார். இந்தச் சுல்ப சூத்திரக் குறிப்புகளில், கேத்திர கணிதம் சார்ந்த கணித சூத்திரங்களையும், அமைப்பு முறைகளையும் அபஸ்தம்பா வழங்கியிருந்தார். குறிப்பாக, கொடுக்கப் பட்ட வட்டத்தின் பரப்பிற்கு இணையான சதுரத்தைக் கண்டறிந்ததும், இரண்டின் மூல வர்க்கத்துக்கான அருமையான சூத்திரத்தை,

 

√2=1 + 1/3 + 1/(3×4) - 1/(3×4×34)

 

என வழங்கியதும் ஆகும், இது ஐந்து தசம தானங்களுக்கு [1.4142156861] சரியாக இருப்பது குறிப்பிடத்தக்கது. இவரது மிகச் சிறந்த கணிதப் படைப்புகளாக, இது இன்றும் விளங்குகிறது. பலி பீட அமைப்பை பற்றி ஒன்பது நூல்கள் எழுதியுள்ள கட்யயன, அதில் நீள் சதுரம், செங்கோன முக்கோணம், சாய்சதுரம் போன்றவற்றை கணித ரீதியாக நன்கு கையாண்டு உள்ளார். எப்படியாயினும் கிரேக்கர்கள் போல தமது தேவை அல்லது நாகரிக வளர்ச்சி நிமித்தம் கணிதத்தை ஆராய்வு செய்தார்களா அல்லது சமய சடங்குகளுக்காக, அதில் ஏற்படும் பிரச்சனையை தீர்க்க அல்லது அதை ஒரு ஒழுங்கு படுத்த மட்டுமே கணிதத்தை ஆராய்வு செய்தார்களா என்று எமக்குத் தெரியா. இந்த சூத்திரத்திற்கு முன்பு, எந்த பதியப் பட்ட கேத்திர கணித அறிவும் கிடைக்காததால், மேற்கு ஆசியாவே இந்த இந்தியாவின் கணித சிந்தனைக்கு மூலமாக இருந்தது இருக்கலாம் என சில அறிஞர்கள் பரிந்துரைத்தார்கள்.

 

எனினும், சிந்து சம வெளி நாகரிகத்தின் எச்சங்கள் இன்றைய பாகிஸ்தானின் ஒரு பகுதியிலும் இன்றைய இந்தியாவின் வட மேற்கு பகுதியிலும் கடந்த நூற்றாண்டின் பகுதியல் கண்டு பிடிக்கப்பட்டது. இது ஒரு சிலரின் சிந்தனையை அடியோடு மாற்றி அமைத்தது. இந்த சிந்து சம வெளி நாகரிக அகழ்வாராய்ச்சிகள் நிகழ்த்தப்படாமல் இருந்து இருந்தால், இந்தியச் சரித்திரம் வேதகாலத்தில் இருந்துதான் தொடங்கியது என்னும் தவறான வரலாறாக இன்னும் நம்பப்பட்டு கொண்டு இருக்கும். அது மட்டும் அல்ல, இந்திய வரலாறே ஆரியமயமாக்கப் பட்டிருக்கும். அந்த கண்டு பிடிப்பு சுல்ப சூத்திரத்திற்கு ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பே இந்தியாவில் கேத்திர கணிதத்தைப் பற்றி அதிநவீன புரிதல் கொண்ட ஒரு நாகரிகம் அங்கு இருந்ததை உலகத்திற்கு எடுத்து காட்டியது. பிந்திய வேத காலத்தில் கடைப் பிடித்த கேத்திர கணித பயிற்சிக்கும் சிந்து சம வெளி நாகரிகத்தில் கடைப்பிடித்த கேத்திர கணித பயிற்சிக்கும் ஒரு தொடர்பு இருந்ததா என உறுதிப் படுத்துவது கொஞ்சம் சிக்கலாக இருக்கிறது. எப்படியாயினும் முன்னைய சிந்து வெளி மக்களால் பயிற்சிக்கப் பட்ட கேத்திர கணித அறிவு, அவர்களை வென்று அல்லது காலநிலை மாற்றத்தால் அல்லது வேறு எதாவது காரணத்தால் அல்லது இவைகளின் தொகுப்புகளால் கங்கை நோக்கி பயணம் செய்த ஆரியர்களை இந்த சுல்ப சூத்திரங்களை எழுத தூண்டி இருக்கலாம்?. அதேவேளை சிந்து சமவெளி திராவிடர்கள் தெற்கு நோக்கி போய் இருக்கலாம்?  கட்டாயம் எதோ ஒரு வகையில் ஆரியர்களை செல்வாக்கு படுத்தியே இருக்கும் என நாம் இலகுவாக ஊகிக்க முடியும்.

 

ஆரம்ப ஹரப்பான் நாகரிகம், கணிதத்தை தமது நடை முறை தேவைக்கு மட்டுமே பெரும்பாலும் பாவித்தது. மேலும் எடைகள், அளவிடும் அளவு கோல், மற்றும் ஆச்சிரிய படத்தக்க அளவு முன்னேறிய, செங்கல் தொழில் நுட்பம் போன்றவற்றில், அவர்கள் முதன்மையாக அக்கறை செலுத்தினார்கள். இங்கு விகிதங்கள் நன்றாக பயனுள்ள வகையில் அவர்கள் பயன்படுத்தினார்கள். இன்றும் செங்கல் விகிதம் 4:2:1 திறமையான பிணைப்பு ஒன்றை ஏற்படுத்துவதற்கு உகந்த ஒன்றாக கருதப்படுவது குறிப்பிடத்தக்கது.

 

மிகவும் நேர்த்தியாக திட்டம் இடப்பட்ட சிந்து சம வெளி நாகரிகத்தின் வீதிகளும் அவை வடக்கு, கிழக்கு, மேற்கு தெற்கு என்ற திசைகளில் நேராக அமைக்கப்பட்டதும் சிந்து சம வெளி மக்கள் கேத்திர கணிதத்தைப் பற்றிய நடைமுறை அறிவாவது கட்டாயம் கொண்டிருந்தார்கள் என்பதற்கு சான்று பகிர்கிறது. சிந்து சம வெளி பற்றிய முன்னைய ஆய்வுகள், இவர்கள் நடை முறை அறிவுகள் மட்டும் இன்றி, கேத்திர கணிதத்தின் அடிப்படை கொள்கைகளை அறிந்தும் இருந்தார்கள் என எடுத்து காட்டுகிறது. அது மட்டும் அல்ல கண்டு பிடிக்கப்பட்ட பல எடைகள் திட்டவட்டமான கேத்திர கணித வடிவங்களில் இருப்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது. இவை பொதுவாக கனசதுரம், உருளை [பீப்பாய்], கூம்பு, நீள்வட்ட உருளை மற்றும் வட்டம் போன்ற வடிவங்களில் இருக்கின்றன [produced in definite geometrical shapes (cuboid, barrel, cone, and cylinder to name a few) ]. அத்துடன் நீளத்தை அளவிடும் கருவிகளும் நில அகழ்வின் போது கண்டு பிடிக்கப்பட்டு உள்ளன. பல்வேறு சிந்து சம வெளி நகரங்களில் கண்டு பிடிக்கப்பட்ட அளவு படிகளும் நீளத்தை அளவிட பாவிக்கப்பட்ட கருவிகளும் [அளவு கோல்களும் / scales for the measurement of length] எமக்கு எடுத்து காட்டுவது இந்த பண்பாடு இடம் சார்ந்த அளவுகளை, அதாவது நீளம், அகலம், உயரம், பருமன் போன்றவற்றை சரியாக அளவிடும் அறிவு ஒன்றை கொண்டிருந்தார்கள் என்பது ஆகும் [that the culture knew how to make accurate spatial[of or relating to space] measurements].

 

உதாரணமாக, கி.மு. 1500 -க்கும் முந்தைய காலகட்டங்களிலேயே தந்தத்திலான அளவு கோல்களை சிந்து சமவெளி நாகரிக திராவிட மக்கள் பயன்படுத்தி வந்திருக்கின்றனர். லோத்தல் என்னுமிடத்தில் கண்டு பிடிக்கப்பட்ட இந்த அளவுகோல் 46 மில்லி மீட்டர் நீளத்தை, சீராக 27 இடைவெளி கொண்டு பிரிக்கப்பட்டு உள்ளது. இங்கு ஒரு அலகு 1.70 மில்லி மீட்டரை சரியாக குறிக்கிறது. அதே போல, மொகஞ்சதாரோவில் 1.32 அங்குலம் (33.5 மி.மீ) இடைவெளியில் அளவுகள் குறிக்கப் பட்டிருந்தது. இது சிந்து அங்குலம் என அழைக்கப்படுகிறது. அப்படி பத்து அலகு 13.2 அங்குலம், ஒரு அடியை கொடுக்கிறது. இதை ஒரு சிந்து அடி என நாம் இன்று கூறுகிறோம். அப்படியே மற்றும் ஒரு வெண்கல கோல் கண்டு பிடிக்கப் பட்டது. இது 0.367 அங்குலம் அங்குலமாக குறிக்கப்பட்டு உள்ளது. அது மட்டும் அல்ல, அவை மிகவும் துல்லியமாக குறிக்கப்பட்டு இருப்பது எம்மை ஆச்சரியத்தில் ஆழ்த்துகிறது. இப்ப இந்த அலகின் நூறு மடங்கு 36.7 அங்குலம் ஆகிறது. இது பொதுவாக நடக்கும் போது ஒரு நீண்ட காலடியின் தூரம் ஆகும் [the distance covered by a long step].

 

மேலும் தோண்டி எடுக்கப்பட்ட / கண்டு பிடிக்கப்பட்ட கட்டிடங்களின் எச்சங்கள் இந்த அளவீடுகள் மிக துல்லியமாக அங்கு ஹரப்பானால் பாவிக்கப் பட்டதை எடுத்து காட்டுகிறது. அந்தக் கால கட்டத்தில் உபயோகிக்கப் பட்ட செங்கற்களின் அளவு 4:2:1 என்ற விகிதாச்சார முறையில் அமைந்திருந்தது. இவர்கள் தமது வியாபாரத்தில் கல், களிமண், உலோகம் ஆகியவற்றால் செய்யப் பட்ட எடைகளைப் பயன் படுத்தினார்கள். எல்லா அளவுகளிலும் ஒரு ஒழுங்கு முறை பின்பற்றப் பட்டிருந்தது. இந்தச் சான்றுகள் சிந்து சமவெளி நாகரிக கால கட்டத்திலேயே கணித அளவீடு படி நிலையை அடைந்திருந்ததை தெள்ளத் தெளிவாக பதிவு செய்கிறது. மேலும் ஒழுங்கான வடிவமைக்கப் பட்ட பல்வேறு அளவுகளில் கைவினை பொருள்கள் அங்கு கண்டு பிடிக்கப்பட்டது இவர்கள் தரமான எடை அமைப்பு ஒன்றை ஏற்படுத்தி, அதன் மூலம் செம்மையான எடை அளவுகளை பாவித்ததற்கு ஒரு சான்றாக உள்ளது. விரிவாக பரவியிருந்த இந்த நாகரிகத்தில், ஒவ்வொரு நகரத்திலும் ஒரே சீரான எடைகள் பாவித்து இருந்தது அவர்கள் எவ்வளவு தூரம் ஒரு தரமான அலகுகள் அமைப்பு ஒன்றை அடைய கவனம் செலுத்தினார்கள் என்பதை கட்டாயம் காட்டுகிறது. கண்டு பிடிக்கப்பட்ட எடைகளை ஆய்வு செய்ததில் அவர்களுடைய எடைகள் இரும முறைமையிலும் தசம முறைமையிலும் [An analysis of the weights discovered suggests that they were based on the binary and decimal systems ] 1:2:4:8:16:32:64:160: 200:320:640:1,600: 3,200: 6,400: 8,000:12,800 என்னும் விகிதத்தில் உருவாக்கப் பட்டிருந்தன தெரிய வந்தன. இதற்குக் கணித ரீதியிலான காரணம் ஏதாவது கட்டாயம் அவர்களிடம் இருக்க வேண்டும். இந்தக் காரணம் என்ன வென்று நமக்கு இன்னும் தெரியவில்லை.

 

இங்கு கண்டு பிடிக்கப்பட்ட பழுதடைந்த எடைகளை தவிர்த்த மொத்தம் 558 எடைகளில் மிகவும் சிறியது 0.856 கிராம் ஆகவும் மிகவும் பெரியது 10,865 கிராம் [இது கிட்டத்தட்ட 25 இறாத்தல் எடை ஆகும் / approximately 25 pounds] ஆகவும், மிகவும் பொதுவாக காணப் பட்ட எடை 13.7 கிராம் ஆக, மிகவும் சிறியதின் 16 மடங்காக, சிந்து வெளியில் பாவிக்கப்பட்ட அலகுகளில் ஒன்றாக இருப்பது போல தோன்றுகிறது. மேலும் முதல் எழு சிந்து எடைகள் முன்னையதின் இரு மடங்காக 1:2:4:8:16:32:64. ஆக, இரும முறைமையில் இருப்பதும் இதன் பிறகு எடை தசம முறைமையில் கூடுவதும் காணப்பட்டது.

 

இந்த பெரும்பாலான எடைகள் கன சதுர வடிவாகவும் அவை படிகக்கல் போன்ற ஒன்றாலும் [செர்ட் /Chert), சற்கடோனி (சல்சிடனி /Chalcedony), சுண்ணாம்புக்கல் (limestone) போன்றவற்றாலும் செய்யப் பட்டவை ஆகும். எடை போடும் தராசுகள் மொகஞ்சதாரோ, லோதல், கலிபாங்கன் போன்ற இடங்களில் கண்டறியப்பட்ட போதும் அவை அனைத்தும் முழுமையாக அமையப் பெறவில்லை என்பதும் குறிப்பிடத் தக்கது எப்படி யாயினும் சிந்து வெளி கேத்திர கணிதத்தைப் பற்றி இது வரை எமக்கு கிடைத்தவையில் முதன்மையாக உள்ளவை கட்டிட வரை படம் அல்லது திட்டங்கள், வீது ஒழுங்கமைப்பு போன்றவையாகும் [primarily concerned with patterns occurring at the macro-scale (such as building plans, street alignments, etc.)].

 

சிற்பங்களில் காணப்பட்ட கலை வடிவங்கள் அவர்கள் பொது மையத்தை கொண்ட அல்லது ஒன்றை ஒன்று குறுக்காகச் சந்திக்கின்ற வடங்கள், முக்கோணங்கள் வரையக்கூடியவர்கள் என்பதை காட்டுகிறது [there is evidence that these people could draw concentric and intersecting circles and triangles.]. மேலும் ஹரப்பான் அலங்கார வடிவமைப்பில் வட்டத்தின் பாவனையை மாட்டுவண்டி படத்தில் காணலாம். இங்கு சக்கரத்தின் விளிம்பை சுற்றி அநேகமாய் ஒரு உலோக பட்டை பொருத்தப்பட்டு உள்ளது. இது இலகுவாக அவர்களின் அறிவுத் திறனை எமக்கு காட்டுகிறது. வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் வட்டத்தின் விட்டத்திற்கும் உள்ள தொடர்பை அல்லது விகிதத்தை அவர்கள் அறிந்து இருந்தார்கள் என்பதை எமக்கு காட்டுகிறது, அதாவது அவர்கள் π இன் பெறு மானத்தை அறிந்து இருக்க வாய்ப்பு அதிகமாக இருக்கிறது.

 

என்றாலும் முத்திரையிலும் மட் பாண்டங்களிலும் அடிக்கடி காணப்பட்ட சிறியளவிலான கேத்திர கணித வடிவமைப்புகள் இன்னும் விரிவாக ஆராயப் படவில்லை. இது வரையில் பரிந்துரைத்ததை விட, இந்த வடிவமைப்புகள், சிந்து வெளி மக்களின் கேத்திர கணித மேம்பட்ட புரிதலை தெளிவாக காட்டுவதாக நாம் இலகுவாக நம்பலாம்.

 

ஆகவே, இந்தியா துணைக் கண்டத்தில் கணிதத்தின், முக்கியமாக கேத்திர கணிதத்தின் ஆரம்பம், கி மு முதல் ஆயிரம் ஆண்டு காலத்து சுல்ப சூத்திரத்தை விட்டு, கி மு முன்றாவது ஆயிரம் ஆண்டு காலத்து சிந்து சம வெளி நாகரிகத்திற்கு போகிறது. திட்டமிடப்பட்ட நகரங்கள், தரப்படுத்த ப்பட்ட அளவீடுகள், மெசொப்பொத்தேமியா மற்றும் மத்திய ஆசியாவுடனான நீண்ட தூர வர்த்தக தொடர்புகள் இந்த நாகரிகத்தின் உயர் தொழில் நுட்பங்களுக்கு சான்றாக இருந்தாலும் அங்கு பதியப்பட்ட எந்த தகவல்களும் இன்று வரை கிடைக்காததால், சிந்து வெளி மக்களின் கணித அறிவைப் பற்றி எம்மால் விரிவாக புரிந்து கொள்ள முடியவில்லை [Although the well-planned cities, standardized system of measurements and evidence of long-range trade contacts with Mesopotamia and Central Asia attest to the high technological sophistication of this civilization, the unavailability of written records has up to now prevented us from acquiring a detailed understanding of the level of mathematical knowledge attained by the Indus people.]. எனினும் அங்கு தோண்டி எடுக்க ப்பட்ட பொருட்களில் காணப்பட்ட கேத்திர கணித வடிவமைப்புகள், அவர்கள் வட்ட வடிவத்தின் பண்புகளை விரிவாக அறிந்து இருந்தார்கள் என்பதை எமக்கு எடுத்து காட்டுகிறது. குறிப்பாக சிக்கலான வடிவங்களால் வெளிகள் ஒழுங்காக அலங்காரம் செய்யப்பட்டு இருப்பது வட்ட வளைவுகளால் அடைக்கப்பட்ட பரப்பை சரியாக கணித்தார்கள் என்பதை காட்டுகிறது [In particular, designs which exhibit space-filling tiling with complicated shapes imply that the Indus culture may have been adept at accurately estimating the area of shapes enclosed by circular arcs.]. ஆகவே இந்த அறிவு அந்த நாகரிகம் நிலை குலைந்த பின்பும் உள்ளூர் மக்களிடம் தொடர்ந்து இருந்து, அது பிற்பாடு வந்த வேத காலப் பண்பாட்டின் ஒரு சில கணித சிந்தனைக்கு வழிகோலி இருக்கலாம். எனவே இதனை கணக்கில் கொள்ளாமல் கணிதவியல் சரித்திரம் எழுதுவது, நுனிப்புல் மேய்வது போலவே அமையும்.

 

 

[கந்தையா தில்லைவிநாயகலிங்கம்,
அத்தியடி, யாழ்ப்பாணம்]

   

 

 

 

நுண்கணிதத்தை அறிந்து இருந்தார்கள் என்பததற்கு எதாவது இருக்கிறதா?